Vojta/fi-notes
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Align difference equations

Browse Source
This commit is contained in:
Vojtěch Struhár 2025-06-09 11:43:32 +02:00
parent 57e559cb26
commit 2c735723bb
1 changed files with 9 additions and 5 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

14
src/content/docs/szmgr/PGV_zpracovani_obrazu_intro.md
View File

@ -17,8 +17,10 @@ Taylorův polynom vypadá takto: $f(x + h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x
Z něho můžeme odvodit rovnici pro první derivaci (v našem případě ji nazýváme dopředná diference):
```math
f(x + h) \approx f(x) + hf'(x)\\
f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\begin{aligned}
f(x + h) \approx &\ f(x) + hf'(x)\\
f'(x) \approx &\ \frac{f(x + h) - f(x)}{h}
\end{aligned}
```
Tu můžeme dále zpřesnit, pokud si vypíšeme taylorův rozvoj až do druhé derivace včetně (tím získáme centrální diferenci):
@ -26,9 +28,11 @@ Taylorův polynom vypadá takto: $f(x + h) = f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x
```math
h_1 = 1, h_2 = -1\\
f(x + h_1) - f(x + h_2) \\
f(x + 1) - f(x - 1) \approx f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) - f(x) + hf'(x) - \frac{h^2}{2!}f''(x)\\
f(x + 1) - f(x - 1) \approx 2hf'(x) \\
f'(x) \approx \frac{f(x + 1) - f(x - 1)}{2h}
\begin{aligned}
f(x + 1) - f(x - 1) \approx &\ f(x) + hf'(x) + \frac{h^2}{2!}f''(x) - f(x) + hf'(x) - \frac{h^2}{2!}f''(x)\\
f(x + 1) - f(x - 1) \approx &\ 2hf'(x) \\
f'(x) \approx &\ \frac{f(x + 1) - f(x - 1)}{2h}
\end{aligned}
```
Podobným stylem získáme i druhou derivaci