18 KiB
| title | description |
|---|---|
| 3D modelování a datové struktury | TODO |
Note
Mnohoúhelníkové a trojúhelníkové sítě: datové struktury, modelování, ~filtrování~ , změna struktury sítě, *zjednodušování sítě**. Implicitní a parametrické* reprezentace a modelování (SDF, CSG, B-Rep).
PA010
Mnohoúhelníkové a trojúhelníkové sítě
Základní pojmy
-
Geometrie
- Mění jí deformace.
- Např. to, kde jsou body.
- Zahrnuje zakřivení (curvature), plochu (area), vzdálenosti mezi body, atd. 1
-
Topologie
-
Topological manifold
Prostor/útvar, který lokálně připomíná (je homeomorfní) $n$-dimenzionální Euklidovský prostor. 1 3$n$-manifold je takový topologický manifold, kde okolí každého bodu je homeomorfní s $n$-dimenzionálním Euklidovským prostorem. 3
Manifoldy jsou typicky fyzikálně validní a efektivní (např. pomocí half-edge).
-
Souřadnicový prostor
\mathbb{R}^nje $n$-manifold. -
Libovolný diskrétní prostor je 0-manifold.
-
Kruh je 1-manifold.
-
Torus (donut) a Kleinova láhev je 2-manifold (povrch).
-
Každý povrch je 2-manifold až na neuzavřené hrany. 1
-
$n$-dimenzionální koule je $n$-manifold.
-
-
Orientability / orientace
- Orientable surfaces allow consistent definition of clockwise and counter-clockwise orientation.
- We can define front/back or inner/outer side.
- In non-orientable surfaces, the orientation can change after running through a surface loop.
— PA010
Möbiova páska a Kleinova láhev
Möbiova páska je neorientovatelná, protože po oběhnutí pásu se změní orientace.
Kleinova láhev je orientovatelná, protože po oběhnutí láhve se orientace nezmění.
- Orientable surfaces allow consistent definition of clockwise and counter-clockwise orientation.
-
Elementy topologie
- Vertices (vertexy / vrcholy) (V)
- Edges (hrany) (E)
- Faces (stěny) (F)
- Genus (G)
- Edge loops (L)
- Boundary edge loops (rings, R)
- Shells (S)
-
Genus
-
Počet "děr" v povrchu.
-
Počet "držadel" v povrchu.
-
Počet skupin křivek, které nelze stáhnout do bodu.
Genus of an orientable surface is the maximum number of cuttings along nonintersecting simple closed curves without separating it.
— PA010
Tip
Podle Wikipedie je genus česky rod plochy.
Tip
Je to maximální počet těch řezů.
Následující povrch4 jde rozdělit podél červené křivky na dva, ale neuvažujeme ji, protože chceme nejvyší možný počet řezů, které povrch nerozdělí.
-
-
Boundary edge loops / rings
Edge loops uvnitř stěn, které nejsou vnějšími hranicemi objektu."Díry" ve stěnách, ale není to genus.
R = L - F
-
Shells (S)
Spojené komponenty povrchu (množiny stěn).
-
Eulerova charakteristika / Euler-Poincaré formula
Eulerova charakteristika\chipopisuje topologický prostor či geometrický útvarM. Je to topologický invariant -- nezmění se jakkoli je tento útvar pozohýbán.\chi(M) = V - E + F \text{ (bez děr)} \\ \chi(M) = V - E + F - R = 2 \cdot (S - G) \text{ (s děrami)}Important
Pro libovolný mnohostěn (polyhedron) bez děr je
\chi = 2.Important
Pro uzavřený 2-manifoldní trojúhelníkový mesh:
Každý trojúhelník má 3 hrany a každá hrana je sdílena dvěma trojúhelníky, takžeE = \frac{3}{2} F.Tip
Intuitivně: pokud jsme neúsporní, pak máme tři hrany pro každý trojúhelník (
3F), každou hranu ale "přilepíme" k nějakému dalšímu trojúhelníku, takže každou hranu máme zbytečně dvakrát (2E), proto3F = 2E, tedyE = \frac{3}{2} F.Z Euler-Poincaré plyne, že
V = 2 + E - F = 2 + \frac{3}{2} F - F = 2 + \frac{1}{2} F \sim \frac{1}{2}
- Tedy platí poměr $E:F:V = 3:2:1$. - Tedy průmeřný vertex degree (počet hran, které vycházejí z vertexu) je $2 \cdot \frac{E}{V} \sim 6$.
Každá hrana (ve 2-manifoldu) přispívá k degree právě dvou vertexů, protože někde začíná a končí.
Kdybychom sečetli degree všech vertexů, dostali bychom $2E$, proto $2E \sim 6V$. -
Simplex
Nejjednodušší polytop (generalizace mnohoúhelníku, mnohostěnu, atd.). Generalizace trojúhelníku v libovolné dimenzi:- 0D -- bod
- 1D -- úsečka
- 2D -- trojúhelník
- 3D -- tetraedr
- 4D -- 5-cell (5nadstěn)
Datové struktury
-
Seznam trojúhelníků / list of triangles (polygon soup)
Jednoduchý, ale obsahuje redundantní informace. Neříká nic o sousednosti. -
Indexed face set
Vrcholy trojúhelníků jsou dány pomocí indexů do pole vertexů. Méně redundantní, ale neříká nic o sousednosti. -
Adjacency matrix
Matice vertexů říkající, zda-li je mezi vertexy hrana. Nijak nereprezentuje faces.
-
Corner table / tabulka rohů
Pro každý vertex udává sousední rohy. Fajn, pokud nás zajímá sousednost vertexů. Trochu redundantní. Použitelná jen pro trojúhelníkové sítě.c.v-- vertex rohu,c.t-- trojúhelník rohu,c.n-- následující roh trojúhelníku,c.p-- předchozí roh trojúhelníku,c.o-- opačný roh v sousedním trojúhelníku (opačný roh kdyby to byl quad).c.r-- "pravý" roh v sousedním trojúhelníku,c.l-- "levý" roh v sousedním trojúhelníku.
-
Half-edge data structure
Použitelná pro 2-manifoldy. Poskytuje rychlé hledání sousednosti. Umožňuje efektivní modifikace meshů.record HalfEdge // e.g. e { Vertex Start { get; set; } // e.g. A // NB: End is optional since you can easily access Twin.Start. Vertex End { get; set; } // e.g. B HalfEdge Twin { get; set; } HalfEdge Next { get; set; } // NB: Prev is optional since you can easily access Next.Next. HalfEdge Prev { get; set; } Face Face { get; set; } }
Modelování
Important
Tahle sekce má docela průnik s otázkou Modelování 3D postav.
-
Boundary representation model (B-rep)
Modelování objektů pomocí jejich hranic -- boundaries (hrany, stěny, atd.). -
Polygonální síť / mesh
Síť trojúhelníků. Hrany jsou vždy rovné. Potřebuje velké množství polygonů na hladké povrchy. -
B-spline plochy
Vertexy řídící sítě slouží k aproximaci křivek. Nedokáže popsat libovolnou topologii. -
Topologická validita
- B-rep model splňuje Euler-Poincaré formuli. (Což neimplikuje, že je 2-manifold.)
- Sousedící faces mají stejnou orientaci.
- Žádné faces "nevisí" ven z modelu.
-
Geometrická validita
Numerické chyby v geometrii (např. v pozicích vertexů) mohou způsobit konflikty mezi topologickou a geometrickou informací. 1Např.: Rovnice rovin tvrdí, že hrana je uvnitř objektu, ale topologie říká, že je mimo něj.
-
Eulerovy operátory
Operátory zachovávající Euler-Poincaré formuli. Jsou dostatečné pro konstrukci užitečných meshů. Pracují s 6 parametry:V-- vertices,E-- edges,F-- faces,H-- components,S-- shells,G-- genus. 1 5Note
Zdá se, že
H-- components je ekvivalentníR-- rings.Ač Eulerových operátorů se dá zadefinovat mnoho, v praxi stačí:
|==== | Operátor | Popis
| MSFV
| make shell, face, vertex
| MEV
| make edge, vertex
| MFE
| make face, edge
| MSH
| make shell, hole
| MEKL
| make edge, kill loop
2+|
| KEV
| kill edge, vertex
| KFE
| kill face, edge
| KSFV
| kill shell, face, vertex
| KSH
| kill shell, hole
| KEML
| kill edge, make loop
|====
-
Regularizované booleovské operátory / regularized boolean operators
Reprezentace těles pomocí booleovských operací. Regularizované značí, že výsledek je vždy platné 2-manifold těleso.AND- průnik\cap^*OR- sjednocení\cup^*SUB- rozdíl\setminus^*
Regularizace vypadá tak, že nejprve je provedena booleovská operace, poté je vypočítán interior a následně closure. 6
- Interior point
ptělesaSje takový bod, že existujertakové, že otevřená koule s poloměremra středem vpobsahuje jen body zS. - Exterior point
ptělesaSje takový bod, že existujertakové, že otevřená koule s poloměremra střem vpnemá žádný průnik sS. - Interior tělesa
Sje množina všech jeho interior pointů. - Exterior tělesa
Sje množina všech jeho exterior pointů. - Boundary tělesa
Sje množina bodů, které nejsou ani interior ani exterior tělesaS. - Clusure tělesa
Sje sjednocení jeho interior a boundary.
Otevřená koule je koule bez povrchu. Tedy právě ty body, které jsou jejím "vnitřkem".
Schéma interior and a boundary tělesa
A \cap B1
Příklad regularizovaného průniku 1
-
Global deformations (Alan Barr)
Mění tvar celého meshe. Obvykle jednoduché a snadno implementovatelné. Jsou fajn při modelování. -
Free-form deformations (FFD)
Lokální deformace vertexů v dané "kleci" / mřížce / lattice -- Bezierově objemu.- Vyrob FFD mřížku (Bezierův objem).
- "Umísti" do objemu objekt, který chceš deformovat.
- Deformuj mřížku (hýbej s jejími body).
- Transformuj vertexy v mřížce podle změn v FFD prostoru.
Má řadu rozšíření s různými tvary mřížky.
Změna struktury sítě
Important
Modifikace meshů mají značný přesah do otázky Křivky a povrchy a taky Pokročilá počítačová grafika
-
Překlápění hrany / edge flip
Lokální změna, která nahradí hranu(b,c)hranou(a,d). Trojúhelníky(a,b,c)a(b,d,c)se stanou(a,d,c)a(a,b,d). 1
-
Rozdělení hrany / edge split
Lokální změna přidávající další vertex a hrany mezi dva trojúhelníky, které tak rozdělí na čtyři. 1
-
Zhroucení grany / edge collapse
Lokální změna, která nahrazuje hranu vrcholem. 1
-
Upsampling / subdivision
Globální změna, která rozdělí jedno primitivum (trojúhelník / quad) na více. Vyhlazuje mesh dělením na menší kousky. 1
-
Downsampling / decimation / simplification
Globální redukce množství primitiv. Často využívá edge collapse. -
Regularization / mesh resampling
Globální upráva s cílem zlepšit kvalitu meshe, např.: tvar trojúhelníků a četnost vertexů. 1
-
Isotropic remeshing
Algoritmus pro regularizaci meshů. Opakuje čtyři kroky:- Rozděl hrany delší než
4 / 3průměrné délky. - Zhruť hrany kratší než
4 / 5průměrné délky. - Překlop hrany, pokud to zlepší stupeň vrcholu (ideální je 6).
- Vycentruj vrcholy.
Zlepšuje rychlost některých algoritmů, eliminuje podlouhlé trojúhelníky, které se blbě renderují, zlepšuje subdivision, ale nejde použít vždy a může vést ke ztrátě detailů (řeší Adaptive remeshing). 1
- Rozděl hrany delší než
Implicitní reprezentace a modelování
Když máme objekt definovaný polévkou matematických symbolů místo hromádky trojúhelníků. Jinými slovy máme jednu nebo více reálných funkcí, které klasifikují body v prostoru.
-
Rovina
Dána bodempa normálouN, ohraničuje poloprostor. Vzdálenost bodu od roviny je dána (za předpokladu, žeNje normalizovaná):f(x) = (x - p) \cdot N -
Kvadriky / kvadratické plochy
-
Elipsoid (třeba koule):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1,An ellipsoid by Sam Derbyshire
-
Hyperboloid (třeba kužel):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1,A one-sheeted hyperboloid by Sam Derbyshire
-
Válec (cylinder):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,A cylinder by Sam Derbyshire
-
Paraboloid (třeba miska):
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - z = 0,A paraboloid by Sam Derbyshire
-
-
Kvartiky / kvartické plochy
-
Torus (donut):
\left( \sqrt{x^2 + y^2} - R \right)^2 + z^2 - r^2 = 0.
-
-
Distance surfaces
Tělesa lze definovat pomocí vzdálenosti od jiných entit:- Sphere:
d(x, \text{point}) = r, - Cylinder / capsule:
d(x, \text{line}) = r, - Torus:
d(x, \text{circle}) = r, - Generalized cylinder:
d(x, \text{curve}) = r, - Offset surface:
d(x, \text{surface}) = r.
kde
d(x, A)je nejmenší vzdálenost boduxod entityA. 7 - Sphere:
-
Constructive solid geometry (CSG)
Umožňuje kombinovat implicitní objekty pomocí logických operací. Předpokládáme, že pokudf(x, y, z) < 0pak je bod uvnitř objektu danémf. Tato metoda nezachováváC^1spojitost. Pro dva objektyfag: 7- Sjednocení:
\min(f, g), - Průnik:
\max(f, g), - Rozdíl:
\max(f, -g). - Komplement:
-f.
- Sjednocení:
-
Bloby (kapky)
Součet několika Gaussových křivek. 7\begin{align*} r_i^2 (x,y,z) &= (x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2 \\ f(x,y,z) &= -1 + \sum_i \exp \left( -B_i \cdot \frac{r_i^2 (x,y,z)}{R_i^2} + B_i \right) \\ f(x,y,z) &= -1 + \sum_i D(r_i) \end{align*}kde:
B_ije "blobbiness",R_ije poloměr blobu v klidu,D(r_i)je Gaussova křivka,r_ije funkce poloměru kapky.
-
Metaballs
Podobné blobům, ale nepoužívá exponenciální funkci. Organicky se "slévající" koule. 7\begin{align*} D(r_i)= \begin{cases} \alpha \left( 1 - \frac{3r_i^2}{R_i^2} \right) & 0 \leq r_i \leq R_i/3 \\ \frac{3\alpha}{2} \left( 1 - \frac{r_i}{R_i} \right) ^2 & R_i/3 \leq r_i \leq R_i \\ 0 & R_i \leq r_i \end{cases} \end{align*}Metaballs by SharkD
