Vojta/fi-notes
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Align newton method equations

Browse Source
This commit is contained in:
Vojtěch Struhár 2025-06-09 11:39:32 +02:00
parent bcd77cb314
commit 57e559cb26
1 changed files with 11 additions and 8 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

19
src/content/docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md
View File

@ -79,20 +79,23 @@ description: "TODO"
![width=400](./img/szp02_newton_method.png) ![width=400](./img/szp02_newton_method.png)
> [!NOTE] > [!TIP]
> How to derive Newton approximation method: > How to derive Newton approximation method:
> 1. Start with Taylor $f(x)=\sum_{n=0}^{1} \frac{f_n(a)}{n!} \cdot (x-a)^n$ > 1. Start with Taylor $f(x)=\sum_{n=0}^{1} \frac{f_n(a)}{n!} \cdot (x-a)^n$
> 2. Substitute $a = x_n$ > 2. Substitute $a = x_n$
> >
> $f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n)$ > $f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n)$
> >
> Now, we want to find $x_{n+1}$ such that $f(x) = f(x_{n+1}) = 0$. > Now, we want to find $x_{n+1}$ such that $f(x) = f(x_{n+1}) = 0$.
> >
> $0 \approx f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)$ > ```math
> > \begin{aligned}
> $0 \approx \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + x_{n+1} - x_n$ > 0 \approx &\ f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n) \\
> > 0 \approx &\ \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + x_{n+1} - x_n \\
> $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ > x_{n+1} = &\ x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
> \end{aligned}
> ```
- **Metoda sečen / secant method**\ - **Metoda sečen / secant method**\
Používá k odhadu kořene funkce $f$ sečny, resp. _finite difference_, které aproximují derivaci funkce $f$. Díky tomu není potřeba znát derivaci funkce $f$. Iterační funkce je: Používá k odhadu kořene funkce $f$ sečny, resp. _finite difference_, které aproximují derivaci funkce $f$. Díky tomu není potřeba znát derivaci funkce $f$. Iterační funkce je:
@ -114,7 +117,7 @@ description: "TODO"
![width=400](./img/szp02_regula_falsi.png) ![width=400](./img/szp02_regula_falsi.png)
- **Metoda Binary search** - **Metoda Binary search**\
Podobný princip jako _regula falsi_. Vybereš si interval $(x_0, x_1)$ kde kořen funkce leží v tomto intervalu ($f(x_{0,1})$ mají jiné znaménka). Podobný princip jako _regula falsi_. Vybereš si interval $(x_0, x_1)$ kde kořen funkce leží v tomto intervalu ($f(x_{0,1})$ mají jiné znaménka).
Interval zmenšuješ binárním dělením - nový bod vybereš přímo uprostřed a interval upravíš aby kořen stále ležel v něm. Regula falsi se snaží zlepšit rychlost konvergence sofistikovanějším výběrem nového bodu, než jen střed. Interval zmenšuješ binárním dělením - nový bod vybereš přímo uprostřed a interval upravíš aby kořen stále ležel v něm. Regula falsi se snaží zlepšit rychlost konvergence sofistikovanějším výběrem nového bodu, než jen střed.