From 57e559cb26d548da66c04590960020dea96c92f5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?Vojte=CC=8Cch=20Struha=CC=81r?= Date: Mon, 9 Jun 2025 11:39:32 +0200 Subject: [PATCH] Align newton method equations --- .../docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md | 19 +++++++++++-------- 1 file changed, 11 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/src/content/docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md b/src/content/docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md index 3d8c850..d26fee1 100644 --- a/src/content/docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md +++ b/src/content/docs/szmgr/SZP02_numericke_metody.md @@ -79,20 +79,23 @@ description: "TODO" ![width=400](./img/szp02_newton_method.png) - > [!NOTE] + > [!TIP] > How to derive Newton approximation method: > 1. Start with Taylor $f(x)=\sum_{n=0}^{1} \frac{f_n(a)}{n!} \cdot (x-a)^n$ > 2. Substitute $a = x_n$ - > + > > $f(x) \approx f(x_n) + f'(x_n)(x-x_n)$ > > Now, we want to find $x_{n+1}$ such that $f(x) = f(x_{n+1}) = 0$. > - > $0 \approx f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n)$ - > - > $0 \approx \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + x_{n+1} - x_n$ - > - > $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ + > ```math + > \begin{aligned} + > 0 \approx &\ f(x_n) + f'(x_n)(x_{n+1}-x_n) \\ + > 0 \approx &\ \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + x_{n+1} - x_n \\ + > x_{n+1} = &\ x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} + > \end{aligned} + > ``` + - **Metoda sečen / secant method**\ Používá k odhadu kořene funkce $f$ sečny, resp. _finite difference_, které aproximují derivaci funkce $f$. Díky tomu není potřeba znát derivaci funkce $f$. Iterační funkce je: @@ -114,7 +117,7 @@ description: "TODO" ![width=400](./img/szp02_regula_falsi.png) -- **Metoda Binary search** +- **Metoda Binary search**\ Podobný princip jako _regula falsi_. Vybereš si interval $(x_0, x_1)$ kde kořen funkce leží v tomto intervalu ($f(x_{0,1})$ mají jiné znaménka). Interval zmenšuješ binárním dělením - nový bod vybereš přímo uprostřed a interval upravíš aby kořen stále ležel v něm. Regula falsi se snaží zlepšit rychlost konvergence sofistikovanějším výběrem nového bodu, než jen střed.