Vojta/fi-notes
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

Notes for graphs and graph algorithms

Browse Source
This commit is contained in:
Vojtěch Struhár 2025-06-11 22:43:07 +02:00
parent b8f32cc898
commit 25d2b24324
1 changed files with 12 additions and 12 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

24
src/content/docs/szmgr/SZP07_grafy.md
View File

@ -135,6 +135,9 @@ Hledá nejkratší cesty z jednoho vrcholu do všech ostatních.
- Využívá relaxaci hran.
- Funguje i na grafech se zápornými hranami.
- Má časovou složitost $\mathcal{O}(\lvert V \rvert \cdot \lvert E \rvert)$.
- Udělá max $V-1$ iterací, protože nejdelší cesta může mít max $V-1$ hran (přes žádný vertex nepůjdeš dvakrát).
- _Modifikace_: Po $V-1$ by už nejkratší cesty měly být nalezeny. Udělejme ještě jednu iteraci - pokud se hodnoty změní, pak nejkratší cesta obsahuje negativní cyklus. Viz python kód dole.
- _Modifikace_: Early stop - pokud se 2 interace po sobě hodnoty vrcholů nezmění, pak jsme našli nejkratší cesty.
```python
def bellmanford(graph: List[List[Tuple[int, int]]], s: int) \
@ -226,9 +229,9 @@ Dijkstrův algoritmus lze optimalizovat, pokud nás zajímá jen nejkratší ces
- **Fundamental cutset / řez**\
Fundamental cutset je množina hran $D$ v grafu $G$ taková, že přidáním libovolné hrany $e \in D$ získáme kostru.
- **Red rule**\
Najdi cyklus bez červených hran, vyber v něm **neobarvenou** hranu s **nejvyšší** cenou a obarvi ji červeně.
Najdi cyklus bez červených hran, vyber v něm **neobarvenou** hranu s **nejvyšší** cenou a obarvi ji červeně. Červená hrana znamená odebrání z finální kostry.
- **Blue rule**\
Najdi řez bez modrých hran, vyber v něm **neobarvenou** hranu s **nejmenší** cenou a obarvi ji modře.
Najdi řez bez modrých hran, vyber v něm **neobarvenou** hranu s **nejmenší** cenou a obarvi ji modře. Modrá hrana znamená přidání do finální kostry.
- **Greedy algoritmus**\
Nedeterministicky aplikuj red rule a blue rule, dokud to jde (stačí $n-1$ iterací). Modré hrany tvoří MST.
- **Jarníkův / Primův algoritmus**\
@ -305,7 +308,7 @@ Dijkstrův algoritmus lze optimalizovat, pokud nás zajímá jen nejkratší ces
Je funkce $f: E \rightarrow \mathbb{R}^+$, která splňuje:
- podmínku kapacity: $(\forall e \in E)(f(e) \ge 0 \land f(e) \leq c(e))$
- _tok hranou je nezáporný a nepřevyšuje povolennou kapacitu_
- _tok hranou je nezáporný a nepřevyšuje povolenou kapacitu_
- podmínku kontinuity: $(\forall v \in V \setminus \{s, t\})(\sum_{e \in \delta^+(v)} f(e) = \sum_{e \in \delta^-(v)} f(e))$
- _tok do vrcholu je stejný jako tok z vrcholu_
@ -332,7 +335,7 @@ Dijkstrův algoritmus lze optimalizovat, pokud nás zajímá jen nejkratší ces
$$
- **Augmenting path $P$**\
Jednoduchá $s \rightsquigarrow t$ cesta v residuální síti $G_f$.
Jednoduchá $s \rightsquigarrow t$ cesta v residuální síti $G_f$. Cesty hledáš buď BFS nebo DFS - každou iteraci si prostě nějakou vybereš.
> [!NOTE]
> T.j. cesta která může jít i proti směru toku $f$.
@ -518,11 +521,11 @@ Dijkstrův algoritmus lze optimalizovat, pokud nás zajímá jen nejkratší ces
**Srovnání algoritmů Ford-Fulkerson a Push-Relabel**
| Ford-Fulkerson |
| ----------------------- | ------------------------------------ |
| Push-Relabel (Goldberg) | global character |
| local character | update flow along an augmenting path |
| update flow on edges | flow conservation |
| Ford-Fulkerson | Push-Relabel (Goldberg) |
| ------------------------------------ | ----------------------- |
| global character | local character |
| update flow along an augmenting path | update flow on edges |
| flow conservation | preflow |
## Maximální párování v bipartitních grafech
@ -556,9 +559,6 @@ Dijkstrův algoritmus lze optimalizovat, pokud nás zajímá jen nejkratší ces
![width=300](./img/szp07_mcm_03.png)
[^ib000]: [IB000 Matematické základy informatiky (podzim 2022)](https://is.muni.cz/auth/el/fi/podzim2022/IB000/um/)
[^ib002]: [IB002 Algoritmy a datové struktury (jaro 2020)](https://is.muni.cz/auth/el/fi/jaro2020/IB002/um/)
[^ib003]: [IV003 Algoritmy a datové struktury II (jaro 2021)](https://is.muni.cz/auth/el/fi/jaro2021/IV003/um/)
[^matching]: [Wikipedia: Párování grafu](https://cs.wikipedia.org/wiki/P%C3%A1rov%C3%A1n%C3%AD_grafu)
[^mcm]: [Wikipedia: Maximum cardinality matching](https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_cardinality_matching)